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Das Massenträgheitsmoment (Gelesen: 14791 mal)
Bynaus
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Das Massenträgheitsmoment
13.12.03 um 12:21:18
 
Das Massenträgheitsmoment

Massenträgheitsmoment? Schon mal gehört? Wenn es darum geht, abzuschätzen, ob die Erde eine Voll- oder Hohlkugel ist, ist dieses Massenträgheitsmoment von entscheidender Bedeutung. Doch warum? Und was bedeutet es genau?

JedeR von euch kennt das Beispiel mit der Eiskunstläuferin, welche die Arme anzieht und sich so schneller dreht. Dies ist ein Beispiel dafür, wie die räumliche Verteilung der Masse eines Körpers einen Einfluss auf sein Rotationsverhalten hat. Im Fall der Eiskunstläuferin reden wir von Impulserhaltung: Da die Arme im ausgestreckten Zustand weiter aussen sind und sich schneller Bewegen, haben sie mehr Energie, sie "pumpen sich mit Energie auf", nehmen einen grossen Teil der Drehenergie der Eiskunstläuferin auf, so dass im Schnitt eine geringere Drehgeschwindigkeit heraus kommt. Nun stellt sich hier die Frage: Nach welcher Gesetzmässigkeit nehmen Arme Energie auf? Was macht es für einen Unterschied, ob die Eiskunstläuferin (z.B.) noch einen Stab in der Hand hält, einmal waagrecht nach aussen, einmal senkrecht zum Boden zeigend?
Diese Dinge werden durch das Massenträgheitmoment beschrieben.

Ein Massenträgheitsmoment macht nur Sinn, wenn man es in Bezug auf eine Achse definiert. Im Fall der Eiskunstläuferin ist das natürlich ihre Drehachse. Man kann aber auch eine beliebige, andere Achse wählen, zu der man das Massenträgheitsmoment bechreibt: Dies nennt man den "Satz von Steiner". (Ist hier nicht weiter von belang, da ich mich immer auf die Erdachse als Rotationsachse beziehen werde)

Was soll man sich nun unter einem "Massenträgheitsmoment" konkret vorstellen? Man könnte es als eine Art "Drehmasse" bezeichnen: Was die Masse für die Mechanik der Beschleunigung ist, ist das Massenträgheitsmoment für die Mechanik der Drehbewegung.
Wie berechnet man ein Massenträgheitsmoment? Dies ist nicht ganz einfach und erfordert die Integralrechnung. Man kann jedoch von jedem beliebigen Körper das Massenträgheitsmoment "J" bestimmen. Das von einigen wenigen geometrischen Körpern führe ich jetzt unten auf:

Dünner Stab, Achse in der Mitte, senkrecht zum Stab: J = 1/12 * M * L^2, wobei M die Masse und L die Länge des Stabes sind.

Dünne Kreisscheibe, Achse in der Mitte, senkrecht zur Scheibe: J = 1/2 * M * R^2, wobei M die Masse und R der Radius der Scheibe sind.

Ellipsoid, Achse parallel zur kürzesten Halbachse c: J = 1/5 * M * (a^2 + b^2), wobei M die Masse, a und b die beiden längeren Halbachsen der Scheibe sind.

Homogene Vollkugel, Achse durch den Kugelmittelpunkt: J = 2/5 * M * R^2, wobei M die Masse und R der Radius der homogenen Kugel sind.

Hohlkugel, Achse durch den Kugelmittelpunkt: J = 2/5 * M * (r(a)^5 - r(i)^5) / (r(a)^3 - r(i)^3), wobei M die Masse, r(a) der Aussenradius (Abstand der äusseren Oberfläche zum Zentrum) und r(i) der Innenradius (Abstand der inneren Oberfläche zum Zentrum) der Hohlkugel sind.

(Quelle: Stöcker, Taschenbuch der Physik, S.103/104)
Im Internet findet sich eine Zusammenfassung auf:
http://www.htwm.de/dlantzs1/Formeln%20Physik/Physik%2003%20Massenanziehung,Gravi...

Wie gesagt: Diese Dinge folgen aus ganz grundlegenden physikalischen Dingen wie Dichte, Masse, Volumen, Radius, etc. Die Kompliziertheit der Rechnungen kommt nur von den komplizierten geometrischen Formen, welche runde Dinge für unsere Mathematik nun mal darstellen. Unzählige Dinge funktionieren problemlos, basierend auf diesen Gesetzen, wie Turbinen, Automotoren, Kreiselkompasse, Festplatten und vieles mehr. Die theoretische Beschreibung und praktische Umsetzung dieser Dinge entspricht sich exakt, es gibt also keinen Grund, an diesen Formeln zu zweifeln. Auch kommt (@alvaricus) die Gravitation nirgends vor, sie spielt hier keine Rolle, da es nur um das Verhalten geht, die ein Körper bestimmter Massenverteilung zeigt, wenn man ihn zum Rotieren bringt.

Das Massenträgheitsmoment der Erdachse beträgt 8.034 * 10^37 kgm^2
http://scienceworld.wolfram.com/physics/MomentofInertiaEarth.html

Damit lässt sich nun berechnen, ob die Erde eine Hohlkugel oder eine Vollkugel ist, in dem man die Gleichung nach diesem Wert auflöst:

Ist sie eine homogene Vollkugel, so muss gelten: J = 2/5 * M * R^2. Teilt man den bestimmten Wert von J durch die Erdmasse und den quadrierten Erdradius, so erhält man: 0.3309, ein Wert, welcher der Vorgabe für eine Vollkugel (2/5 = 0.4) sehr nahe kommt.

Ist sie hingegen eine Hohlkugel, so muss gelten: J = 2/5 * M * (r(a)^5 - r(i)^5) / (r(a)^3 - r(i)^3). M, r(a) sind bekannt, nur r(i) ist unbekannt. Für r(i) = 0 (also keine Hohlraumsphäre, da deren Radius 0 beträgt) geht die Gleichung nahtlos in die Gleichung für die Vollkugel über, da sich dann r(a)^5 / r(a)^3 zu r(a)^2 kürzt, womit wir exakt bei der Vollkugel wären. Für Werte von r(i) zwischen 0 und r(a) (mehr würde ja keinen Sinn machen) liegt der Wert zwangsläufig über 0.4, umso mehr, je grösser der Hohlraum wird, wird bei r(a) = r(i) sogar unendlich gross.
Man kann das Massenträgheitsmoment, das die Erde haben müsste, wenn sie eine Hohlkugel wäre, berechnen: Nehmen wir eine (hier schon mehrmals aufgestellte) Schalendicke von 1000 km an, erhalten wir folgenden Wert: 1.39 * 10^38, wesentlich mehr als der gemessene Wert. Ihr dürft gerne noch mit der Formel herumexperimentieren, ihr werdet aber feststellen, dass die erhaltenen Werte umso besser werden, je kleiner man den Innenraum macht, und umso schlechter, je dünner die Schale wird.

Woran liegt es, dass das Trägheitsmoment der Erde nun mal nicht genau 0.4 ist, sondern etwas darunter liegt? Eine Kugel, deren gesammte Masse in einem Punkt mit Ausdehnung R = 0 konzentriert hat, hat das Massenträgheitsmoment 0. Der Wert zwischen 0.4 und 0 kann folglich als "Zwischending" interpretiert werden: Die Masse der Erde ist zu einem gewissen Teil zum Zentrum hin konzentriert: Ein Hinweis auf einen massiven, dichten Kern, wie ihn auch die Erdbebenseismik (siehe später) voraus sagt.
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #1 - 13.12.03 um 14:26:32
 
@bynaus:  schön ausgeführt...
also ... Frage: Hat die Schalendicke den Kern berücksichtigt?... Nein.
Aber selbst mit Kern wäre der Wert größer o,3309.
Jetzt haben wir hier keine klassische Hohlkugel sondern eine Chimäre aus Voll und Hohlkugel, aber das hatten wir ja schon.... deshalb meine Frage :  Zitat:
so erhält man: 0.3309, ein Wert, welcher der Vorgabe für eine Vollkugel (2/5 = 0.4) sehr nahe kommt. 

wieso nicht 0,4?   hat engelsde etwa recht? was ist denn wirklich definitiv ? die Masse ? díe Dichte ? die Struktur?....
ich finde diese Berechnung sagt einiges über die Erde aus, aber nicht das sie eine durchgehend geschlossene Vollkugel ist --   reine Interpretation.
Aber eines steht für mich auch fest: wenn kein Massekern im Zentrum und Hohlraum plus Schale (von mir aus auch deutlich über 1000 Km dick dann ein zentraler Hohlraum alà Engelsde mit (sorry) ich glaube 2000 bis 2500 Km Durchmesser... Aber _NOCH WICHTIGER_ hier haben wir DREI strittige Modelle inkl des heutigen... Keines -ich wiederhole- KEINES ist bisher bewiesen!
Gruß
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #2 - 13.12.03 um 15:16:32
 
Zitat:
Jetzt haben wir hier keine klassische Hohlkugel sondern eine Chimäre aus Voll und Hohlkugel


Es geht beim Massenträgheitsmoment um den rotierenden geometrischen Körper: Und so lange der Kern nicht daran "befestigt" ist, ist das eine völlig klassische Hohlkugel.

Zitat:
wieso nicht 0,4


Dazu Eigenzitat:
Zitat:
Woran liegt es, dass das Trägheitsmoment der Erde nun mal nicht genau 0.4 ist, sondern etwas darunter liegt?

Fortsetzung im Text. Vielleicht hättest du ihn doch ganz lesen sollen! Zwinkernd

Zitat:
Keines -ich wiederhole- KEINES ist bisher bewiesen!


Frag mal Fachleute, was die dazu meinen. Dazu kommt, dass das Massenträgheitsmoment nicht das einzige Argument ist. Es ist ein Hinweis darauf, dass die Erde im Prinzip einer Vollkugel ähnlicher ist als einer Hohlkugel. Und nur schon dieser Umstand sollte dir (euch) zu denken geben.
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #3 - 19.12.03 um 09:34:20
 
Dem Argument hier schein niemand mehr etwas entgegenzusetzen haben. Hat es euch also völlig überzeugt?
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #4 - 19.12.03 um 09:38:36
 
Nein.     (ich habe z.Z. Stress im Job --- bitte Geduld - ich antworte noch)

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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #5 - 19.12.03 um 10:20:54
 
Ok, kein Problem, alvaricus. Nicht jeder hat soviel Zeit wie Student, das ist mir schon klar...  unentschlossen
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #6 - 21.12.03 um 13:44:11
 
@bynaus:

Zitat:
Es geht beim Massenträgheitsmoment um den rotierenden geometrischen Körper: Und so lange der Kern nicht daran "befestigt" ist, ist das eine völlig klassische Hohlkugel


Wieso ist der Kern nicht daran befestigt?  Wer bestimmt, dass welche Materie zu einer Verbindung gehört und welche nicht? Wenn es ein stabiles sich aufhebendes grav. System ist, haben wir eine Vollkugel... nur wenn aussschliesslich und nachweislich absolute Leere zwischen Schale und Kern vorliegt, was nicht sein kann können wir hier von einer Hohlkugel sprechen... In einem unterirdischen Wasservorkommen, einer kugelrunden Aushölung, die mit Wasser vollständig gefüllt ist, haben wir auch keine Voraussetzungen für eine Hohlkugel... (ich hätte dieses Beispiel auch gut in das andere Thema packen können). Doch übertragen hiesse das... Wo willst du hier die Grenze ziehen?
Gruß
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #7 - 22.12.03 um 11:26:23
 
Die Grenze liegt darin, dass bei einem Massenträgheitsmoment von mehr als 0.4 die Dichte in der Nähe der Oberfläche der Kugel grösser ist als in der Tiefe. Das heisst, auch eine Wasserkugel, die von einem Gesteinskern umschlossen ist, hätte ein Moment von mehr als 0.4. Die Verteilung der Dichte machts aus!

Ob der Kern "verbunden" ist oder nicht, könnte folgendermassen getestet werden: Bremst man die Schale in ihrer Rotation um die Achse ab, und der Kern rotiert weiter, ist er nicht verbunden. Bremst er zeitgleich ab, ist er verbunden.
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #8 - 22.12.03 um 12:13:49
 
und was sagt mir deine Antwort: Nichts... ich erkenne die Auswertung nicht als Beleg für keine Hohlerde...
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #9 - 22.12.03 um 17:49:24
 
Nimmt die Dichte der Erde von innen nach aussen zu = Massenträgheitsmoment wird grösser als 0.4

Nimmt die Dichte der Erde von innen nach aussen ab = Massenträgheitsmoment wird kleiner als 0.4

Das Massenträgheitsmoment der Erde beträgt 0.3309 = kleiner als 0.4

Also nimmt die Dichte der Erde von innen nach aussen ab = falls die Luft dort unten nicht extrem stickig dicht ist (dichter als Gestein), dann gibts keinen Hohlraum im Innern!

Sagts dir jetzt etwas?
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #10 - 23.12.03 um 09:14:22
 
@bynaus:
Zitat:
Nimmt die Dichte der Erde von innen nach aussen ab = Massenträgheitsmoment wird kleiner als 0.4 
Das Massenträgheitsmoment der Erde beträgt 0.3309 = kleiner als 0.4


Schön  genau so sehe ich es auch... Ich glaube ja nicht an einen Hohlraum ohne Kern.  Da solltest du eher mit engelsde die Argumentation weiterführen...

Zitat:
Der Wert zwischen 0.4 und 0 kann folglich als "Zwischending" interpretiert werden: Die Masse der Erde ist zu einem gewissen Teil zum Zentrum hin konzentriert: Ein Hinweis auf einen massiven, dichten Kern, wie ihn auch die Erdbebenseismik (siehe später) voraus sagt.

+
Zitat:
ein Wert, welcher der Vorgabe für eine Vollkugel (2/5 = 0.4) sehr nahe kommt. 


so und jetzt sage mir worauf der Wert ein Hinweis ist... ohne zu interpretieren!  Das kannst du ebenso wenig wie ich.
Aber zwei Fragen um der Sache auf den Kern zu kommen...
Wie würdest du den Aufbau der Erde interpretieren wenn
1. der Wert bei 0,05 liegen würde?
2. der Kern (sagen wir mal 1000Km) ein Hohlraum wäre und die darüber liegende Dichte dann von Innen nach Aussen hin abnimmt ?
Gruß
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #11 - 23.12.03 um 09:53:54
 
Zu 1. Dass die Dichte im Kern sehr gross ist, so dass ein Grossteil der Masse dort konzentriert ist.
Zu 2. Du meinst, darüber wäre bloss noch feste Materie? Gute Frage, müsste man nachrechnen, ob bei diesem Modell die durchschnittliche Dichte eher zu oder abnimmt. Nimmt sie durchschnittlich ab, hätten wir einen Wert kleiner als 0.4, sonst grösser. Aber vielleicht wäre das eine Erklärungsmöglichkeit in deinem Sinn, man müsste man das aber erst nachrechnen, bevor man dieses Argument als abgehakt betrachtet.

Nochmals: Es geht hier um das Massenträgheitsmoment des Rotationskörpers! Das heisst, ein "unverbundener" Kern kann nicht zu den 0.3309 beitragen.
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #12 - 23.12.03 um 10:08:49
 
@bynaus:
......das mit dem unverbunden hatten wir ja schon... Was heißt für dich unverbunden? Wenn ein Kern die gleiche Rotation erfährt, wie die ihn umgebende Schale, ist das ein geschlossenes System.
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #13 - 23.12.03 um 10:18:24
 
Nicht unbedingt. So lange er mit der Schale "mitrotiert", das heisst, Beschleunigungen und Abbremsung der Schale mitmacht (wie es eben wäre, wenn er materiell daran gebunden wäre), dann ist er "verbunden", ansonsten kann er irgendwie rotieren, ohne dass das einen Einfluss auf das Drehverhalten (und somit auch das Massenträgheitsmoment) der Schale hätte, er könnte z.B. eine stark geneigte Achse haben, und es würde sich nicht niederschlagen. Weisst du, was ich meine?
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Re: Das Massenträgheitsmoment
Antwort #14 - 23.12.03 um 10:22:33
 
ja - aber er rotiert mit, weil er wie die Schale den selben Einflüssen für eine Rotaion unterlegen ist. Er (der Kern) ist also im Verbund mit Schale..
So und jetzt hat die Schale eine von innen nach außen ansteigende Dichte....
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